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怎样解题（How to Solve It）

摘要

乔治·波利亚（G. Polya）的著作《怎样解题》（How to Solve It）是一部关于数学方法和启发法（Heuristic）的经典指南。本书的核心不仅在于教授具体的数学知识，更在于传授一种解决问题的思维方式和“发现的艺术”。波利亚将解题过程系统化为四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案和回顾。他提供了一份著名的“怎样解题表”，其中包含了诸如“未知量是什么？”、“你以前见过这个问题吗？”、“你能否画一张图？”等通用性问题，旨在引导解题者通过模仿和练习，掌握独立思考的能力。

书中详细阐述了启发式推理（Heuristic Reasoning）的重要性，即一种虽非绝对严密但能有效引导发现的推理方式，并介绍了类比、归纳、特化、泛化、倒推法（分析法）等具体的思维策略。此外，波利亚还特别关注教学法，指导教师如何通过自然、不仅限于当下的提问方式来帮助学生，避免直接灌输答案，从而培养学生的创造力和解题兴趣。本书不仅适用于数学学生和教师，也适用于任何渴望提升逻辑思维和解决实际问题能力的人。

内容精简

主题一：解题的四个阶段与思维路径

波利亚提出，解决任何有难度的数学问题（甚至是非数学问题），其思维过程都可以划分为四个主要阶段。这四个阶段构成了解题的总体框架，帮助解题者有条不紊地攻克难题。

  1. 第一阶段：理解题目（Understanding the Problem） 这是解题的基础。如果连题目都看不懂，或者不清楚目标是什么，就无法开展工作。波利亚强调，学生必须首先理解题目叙述，能够流畅地复述它，并指出其主要部分。

    • 核心提问：这一阶段的关键问题包括：“未知量是什么？”（What is the unknown?）、“已知数据是什么？”（What are the data?）、“条件是什么？”（What is the condition?）。
    • 具体操作：解题者需要通过画图来视觉化问题，并引入合适的符号标记。还需要判断条件是否足以确定未知量，或者条件是否矛盾、多余。这一阶段的目标是对问题建立清晰、完整的认识。

  2. 第二阶段：拟定方案（Devising a Plan） 这是最关键也是最困难的一步，即找到已知数据与未知量之间的联系。如果这种联系不是显而易见的，解题者就需要通过各种启发式手段来构建思路。

    • 核心策略：波利亚建议询问：“你以前见过它吗？”或者“你见过类似的问题吗？”。利用过去的经验至关重要。如果找不到直接相关的原题，可以尝试寻找具有相同或相似未知量的题目。
    • 辅助手段：如果无法直接解决，可以尝试“特化”（解决一个更特殊的问题）、“泛化”（解决一个更普遍的问题）或利用“类比”。还可以引入“辅助元素”（如几何中的辅助线）来建立联系。
    • 目标：最终目的是获得一个解题计划，即知道需要进行哪些计算或作图步骤。

  3. 第三阶段：执行方案（Carrying Out the Plan） 相比于构思方案，执行方案通常较为容易，主要需要耐心。

    • 核心要求：解题者必须坚持既定的计划，按部就班地进行。关键在于每一步都要进行检查。
    • 两种检查方式：波利亚区分了“直观地看到”步骤正确和“形式上证明”步骤正确。解题者需要问自己：“你能清楚地看出这一步是正确的吗？”以及“你能否证明它是正确的？”。这确保了推理的逻辑链条没有断裂。

  4. 第四阶段：回顾（Looking Back） 这是最容易被学生忽略，但对提升解题能力最有价值的一步。许多学生一旦算出答案就合上书本，错失了巩固知识的机会。

    • 检验结果：首先要检查结果的正确性。可以通过量纲分析（Test by dimension）、特殊值检验等方法来快速验证。
    • 深化理解：波利亚鼓励解题者思考：“你能否以不同的方式推导结果？”（寻找第二种解法）以及“你能否一眼就看出结果？”（寻求直观理解）。
    • 迁移应用：最重要的问题是：“你能在别的题目中利用这个结果或这种方法吗？”。通过这种反思，解题者将具体的解题经验转化为通用的解题能力。

主题二：启发法小词典与核心解题策略

本书的第三部分是一个按字母顺序排列的“启发法小词典”（Short Dictionary of Heuristic），详细解释了各种思维工具和心理操作。启发法（Heuristic）旨在研究发现和发明的方法。以下是其中几个核心策略的详细展开：

  1. 类比（Analogy） 类比是发现真理的伟大引路人。它指出了两个不同系统之间的相似性 。当我们面对一个困难的问题时，如果能找到一个与之类似的、更简单的或者是已经解决的问题，我们就可以利用那个问题的解法或结果。

    • 案例：在解决“求四面体重心”的问题时，波利亚建议先看一个类比的平面几何问题：“求三角形重心” 。通过解决简单的类比问题，我们可以模仿其方法（引入辅助线、分割图形等）来解决更复杂的立体几何问题 。
    • 作用：类比不仅提供解题思路，还能通过归纳推理提供结果的合理性预测 。

  2. 倒推法/分析法（Working Backwards / Analysis） 这是一种从目标出发回溯到已知条件的策略，帕普斯（Pappus）对其有经典描述 。

    • 操作逻辑：假设问题已经解决（未知量已找到），然后思考“要想得到这个结果，它的前一步必须是什么？”如此一步步逆推，直到联系上已知数据 。
    • 应用场景：这种方法在几何作图题和一些逻辑谜题（如用两个容量分别为4升和9升的容器量出6升水）中特别有效 。虽然心理上人们习惯于“顺推”，但“倒推”往往能突破僵局。

  3. 辅助元素与辅助问题（Auxiliary Elements & Auxiliary Problem） 当已知数据和未知量之间缺乏直接联系时，我们需要引入中间环节。

    • 辅助元素：在几何中通常表现为辅助线，在代数中则是引入新的变量 。引入辅助元素的目的是为了利用以前的知识或定理 。
    • 辅助问题：如果我们无法解决原问题，可以试着解决一个相关的辅助问题。这可以是一个特例、一个更一般的问题，或者一个类似的问题 。例如，在解方程 $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ 时，引入 $y = x^2$ 就创造了一个关于 $y$ 的辅助二次方程，从而简化了问题 。

  4. 特化与泛化（Specialization & Generalization）

    • 特化：从一般集合转到更小的集合或单个对象。例如，为了检测一个关于一般三角形的定理是否正确，我们可以先考察等边三角形或直角三角形这些特殊情况 。特化常用于验证猜想或寻找反例。
    • 泛化：从考察一个对象转到考察包含该对象的更广泛的集合。令人惊讶的是，“发明者悖论”（Inventor’s Paradox）指出，有时更具野心的总体计划（更一般的问题）反而比原问题更容易解决，因为一般性问题可能剥离了无关细节，揭示了核心结构 。

主题三：教师的角色与教学艺术

波利亚在书中不仅指导学生如何解题，也花大量篇幅指导教师如何教学。核心原则是：教师应当帮助学生，但不能包办代替，要让学生感觉是自己发现了解决办法。

  1. 助人的分寸（Helping the Student） 教师的任务是帮助学生，这并不容易。帮助不能太少，否则学生没有进展；也不能太多，否则学生失去了独立工作的体验 。教师应该“不引人注目地”（unobtrusively）提供帮助，最好的方式是自然地提问，提出那些学生如果自己够敏锐也能想到的问题 。

  2. 提问的技巧（Method of Questioning） 波利亚强调使用具有通用性（Generality）和常识性（Common Sense）的问题 。

    • 通用性：像“未知量是什么？”这样的问题适用于各种题目，反复使用这些问题可以帮助学生内化这种思维模式，最终养成自问自答的习惯 。
    • 逐步聚焦：教师应从一般性建议开始（“你知道一个相关的题目吗？”），如果学生没有反应，再逐渐具体化（“看这里，这个三角形和你见过的哪个图形类似？”），直到触及学生的思维响应点 。

  3. 好问题与坏问题（Good and Bad Questions）

    • 坏问题：例如直接问“你能应用勾股定理吗？”这种问题太具体，直接泄露了秘密，学生不需要思考就能回答，而且除了这道题外，学生学不到任何通用的解题策略 。
    • 好问题：应该问“你以前见过类似的问题吗？”或者“看着未知量，你能想到什么熟悉的定理？”这种问题引导学生去动员自己的知识储备，是启发式的，能迁移到未来的问题解决中 。

  4. 模仿与练习（Imitation and Practice） 解题是一种实践技能，像游泳一样，需要通过模仿和练习来习得 。教师在课堂上演示解题时，应该要把思维过程“戏剧化”（dramatize），把那些甚至包括走弯路在内的真实思维步骤展示出来，并自问自答那些通用的启发式问题，从而为学生提供可模仿的榜样 。

问答

Q1: 波利亚提出的解题四个阶段分别是什么？ A: 四个阶段分别是：

  1. 理解题目（Understanding the problem）：弄清未知量、数据和条件 。
  2. 拟定方案（Devising a plan）：找出数据与未知量之间的联系，必要时引入辅助问题，以此制定解题计划 。
  3. 执行方案（Carrying out the plan）：实施计划，并检查每一步骤的正确性 。
  4. 回顾（Looking back）：检查结果和推理过程，并尝试用不同方法推导或将结果用于其他题目 。

Q2: 什么是“发明者悖论”（Inventor’s Paradox）？ A: 发明者悖论是指：更具野心、更普遍的计划（或问题）往往比原先有限的问题更容易获得成功。这是因为更普遍的问题可能更容易通过归纳验证，或者其核心结构更清晰，较少受到具体细节的干扰。

Q3: 在“回顾”阶段，最重要的两个目的是什么？ A: 一是巩固知识，通过重新审视结果和路径来加深理解；二是发展解题能力，通过寻找其他解法或将当前结果应用于新问题，来构建知识网络。

Q4: 为什么波利亚反对教师直接给学生具体的提示（如“用勾股定理”）？ A: 因为这种提示太具体，不仅直接泄露了答案，剥夺了学生独立思考的机会，而且不具有指导意义，学生无法将其迁移到其他问题上。好的提示应当是通用的、符合常识的，能引导学生自己发现思路。

Q5: 什么是“启发法”（Heuristic）？ A: 启发法是研究发现和发明的方法与规则的学科。在解题中，启发式推理是指一种暂时的、看起来合理的推理（如归纳、类比），其目的是为了发现解题路径，虽然它不能替代严格的证明，但是是构建严格证明所需的“脚手架”。

Q6: 当解题陷入僵局时，可以使用哪些策略来打破局面？ A: 可以尝试：

  1. 回到定义：重新审视概念的定义 。
  2. 改变题目：特化（考察特例）、泛化（考察更一般的情况）或寻找类比问题 。
  3. 倒推法：从想要达到的结果出发，逆向推导前一步 。
  4. 利用潜意识：暂时放下问题，让潜意识工作，之后再回来往往会有新思路 。

Q7: 书中提到的图示（如杨辉三角/帕斯卡三角的一部分）说明了什么？ A: 文中通过展示点、线段、三角形、四面体的元素数量（顶点、边、面等）构成的表格（类似帕斯卡三角），说明了不同维度几何图形之间存在的类比和规律性，这是通过归纳发现数学规律的典型例子 。